Mis oleks, kui me vaataksime eksimusi mitte kui komistuskive, vaid kui trepiastmeid? Just matemaatikatunnis, kus iga vastus näib olevat kas «õige» või «vale», võib tegelik õppimine alata hoopis valest kohast. Mõni õpilane ei ava vihikutki, teine kirjutab lehekülje täis – aga mida näitab see tegelikult nende mõtlemise kohta? Uued uurimused ja haridusteadlaste kogemused viitavad üheselt: viga on väärtuslik tööriist, mitte takistus. Kuid kuidas muuta klassiruumi õhustikku nii, et vead ei tekitaks hirmu, vaid uudishimu? Ja miks võiks matemaatika olla rohkem looming kui drill? Vastus võib peituda ühes lihtsas küsimuses, mida õpetaja küsib – või jätab küsimata.
Matemaatikatund käib. Õpilased nohistavad vihikute taga ja lahendavad ülesandeid. Üks on juba terve lehekülje täis kirjutanud, teine pani esimese asja kirja, kolmas pole vihikut veel avanud. Õpetaja hakkab ülesande lahendust küsima ning vaikselt on näha õpilaste näost ebakindlust ja hirmu: «Ma ei taha öelda, äkki on vale vastus…». Üks õpilane annab oma vastuse. Mis võiks seejärel olla õpetaja järgmine samm?
a) «Ei, täiesti vale. Kas keegi teab õiget vastust?» või siis «Jah, see on õige vastus.»
b) «Mis vastuse teised said?»
c) «Kuidas sa selle vastuseni jõudsid?»
Millise valiku peaks õpetaja tegema? Minu jaoks on valik lihtne: viimane variant annab õpilasele võimaluse päriselt õppida ning see küsimus on oluline nii õige kui ka vale vastuse korral. Oskus oma tööd lahti seletada, mõtestada, selgitada, kuidas tulemuseni jõuti, ja seda veel matemaatilises keeles teha, on ülim väärtus
See on oluline õige vastuse puhul, et kõik saaksid osa selle õpilase mõttekäigust, ja sama oluline on seda küsida, kui vastus ei ole veel õige. Õpilasele pole oluline lihtsalt kuulda õiget vastust, vaid mõista, mis tema mõttekäigus juhtus, kus ta rajalt kõrvale kaldus ja kuidas tagasi tulla. Eriti oluline on see aga siis, kui tegeleme vigadega.
Vigade tegemine tundub paljudele õpilastele ja mõnikord ka õpetajatele kui miski, mis ei tohiks tunnis juhtuda. Mina väidan vastupidi, sest vead on koht, kus õppimine algab. Kui ma annaksin ainult õigeid vastuseid eksimata, ei oleks mul põhjust oma mõtlemist täpsustada, kontrollida ega parandada. Matemaatikas ei ole viga häbiasi – viga on informatsioon.
Mul on tunnis üks põhimõte, mida püüan järjepidevalt järgida: vale vastus on tunnis täiesti okei ja tegelikult kõige olulisem osa õppeprotsessist, kuid mõttekäik peab olema nähtav. Kui õpilane julgeb ja oskab öelda, mida ta mõtles, siis on meil midagi, millega töötada. Kui õpilane vaikib, sest kardab eksida, ei näe ma tema mõtlemist ja siis on õppimine juba eos pidurdatud.
Matemaatika on siiski looming piiride sees
Mulle meeldib matemaatika, sest see on mõnusalt loominguline aine. Tavaliselt on ette antud alguspunkt ja siht, aga nende kahe vahel on palju ruumi. Matemaatika ei ole sirge tee punktist A punkti B, vaid teekond, kus igaüks saab leida oma raja. Mõni liigub sammhaaval, mõni teeb julgeid hüppeid, mõni kontrollib iga sammu järel. Oluline pole, et kõik käiksid üht sama rada mööda, vaid see, et suudetaks põhjendada, miks valiti just see tee.
Selles valikus kohtuvad loovus ja vigade normaliseerimine. Matemaatikas on mitu võimalikku lahendusteed, mistõttu on paratamatu, et vahel valitakse ka «vale» rada. Küsimus ei ole selles, kas see juhtub, vaid mida me sel hetkel teeme: kas paneme ukse kinni – «Vale!» – või avame ukse: «Räägi, kuidas sa mõtlesid».
Oluline on märkida, et ka olukorras, kus õpilane annab õige vastuse, tuleks jätkata küsimusega: «Oled sa kindel?» Tavaliselt, kui õpetaja nii küsib, eeldab õpilane, et ta on vastanud valesti. Tunnistan, et ka mina olen selles süüdi. Tavaliselt hakkame rohkem uurima siis, kui vastus on vale, mitte siis, kui lahendus on täiesti korrektne.
Kui küsida õpilaselt üle ka siis, kui vastus on õige, annab õpilasele oskuse oma mõttekäike selgitada ja end väljendada probleemide lahendamisel. Kui järjepidevalt küsida selgitust nii vale kui õige vastuse korral, annab see õpilasele võimekuse ja enesekindluse oma tööd lahti seletada, mis viib palju sügavama õppimiseni.
Vigu tasub mõtestada kui pusle lahendamist. Tuleb analüüsida, millal ja miks viga juhtus, kas see oli hooletusest või teadmiste puudumisest, ning seda koos õpilastega arutada. Lisaks võiks anda ülesandeid, kus õpilased peavad ise vead üles leidma. See aitab õppijal paremini mõista, kus võib tekkida veakoht ja kuidas seda ise vältida. Tundides on näha, et õpilastel on oma vigade märkamine väga keeruline ning sellised tegevused aitavad neid igal hetkel edasi.
Viga on diagnostika – nii õpetajale kui õpilasele
Vigade väärtus ei seisne ainult toredas ja inimlikus suhtumises. Viga annab õpetajale täpset infot selle kohta, kus on tekkinud väärarusaam või segadus. Kui õpilane seletab oma lahenduskäigu lahti ja leiame koha, kus ta rajalt kõrvale kaldus, on see õpetajale juhis, mis aitab mõista, mida ja kuidas selgitada.
Õpilasele on see võimaluseks mõtestada, miks see tee tundus loogiline, milline vihje oleks mind tagasi toonud ning millal järgmine kord mõistan, et hakkan õigelt rajalt kõrvale kalduma.
Jo Boaler (Briti ja USA haridusõpetlane, kes on keskendunud just matemaatika õpetamisele; s: 1964)on kirjutanud ja rääkinud sellest, kuidas vead ja segaduse hetked on õppimise seisukohalt väärtuslikud. Õppimine ei toimu siis, kui kõik on selge ja automaatne, vaid just siis, kui aju peab pingutama, märkama vastuolu ja oma mõtlemist korrigeerima.
Hariduspsühholoogias on samuti näidatud, et vigadega tegelemine – mitte nende vältimine – toetab sügavamat arusaamist ja paremat meeldejätmist – eriti siis, kui viga analüüsitakse ja parandatakse, mitte ei jäeta lihtsalt punaseks miinuseks.
Siit tuleneb ka üks oluline õpetaja roll: pean ise olema eeskujuks. Alustan alati õppeaastat sellega, et meenutan õpilastele, et kui mina teen tahvlil vea, siis nad annaksid sellest kohe teada ja saame koos üle vaadata, millest minu viga tekkis.
Kui märkan oma viga esimesena, ütlen selle välja ja analüüsin rahulikult: «Näete, siin ma eeldasin valesti või olin hooletu.» ning kui õpilane märkab mu viga, ei ole see oht autoriteedile, vaid õppimisvõit. Ma tänan, sest ta jälgis, mõtles kaasa ja märkas.
Mitu rada ühe ülesandeni: protsendi näide
Kuigi matemaatikas on õige tulemuseni jõudmine oluline osa protsessist, on tegelikult kõige teekond selle tulemuseni ning siin vajab õpilane tuge ja pingutust, et suuta oma lahenduskäiku selgitada viisil, et ka teine inimene mõistaks, mida ta öelda tahtis. Tähtis on oskus oma tehtud töö kirja panna, seda selgitada ja korrektselt näidata. Õpilaste jaoks on sageli keeruline oma töö üles märkida nii, et iga samm oleks arusaadav. See on oluline ka seetõttu, et õpilane võib tulemuseni jõuda väga erinevaid radu pidi, kuid oluline on oskus see arusaadavalt kirja panna.
Mida kindlamalt õpilane end teemas tunneb, seda rohkem hakkab ta matemaatikat nägema probleemina, millel on mitmeid erinevaid lahenduskäike. Õpetaja roll on näidata ülesannetele erinevaid lahendusviise ja julgustada õppijat ka ise uusi radu leidma. Võtame näiteks protsendi leidmise arvust, mis on üks oluline oskus terveks eluks. Ühe ja sama ülesande saab lahendada mitut moodi:
1) protsendi saab leida valemi abil;
2) saab mõelda 1%, 10% ja «tükkide» kaupa;
3) saab kasutada võrdelist arutlust (kui 100% on see, siis 1% on …).
Kui klassis need teed nähtavaks teha, muutub matemaatika korraga avaramaks. Õpilased näevad, et õige vastus ei ole ainus väärtus, vaid tähtsaks on hoopis mõtlemise paindlikkus. Sellisel juhul ei tundu “vale rada” enam katastroofina, vaid loomuliku kontrollpunktina, kus see lahenduskäik ei viinud mind õiges suunas, mistõttu on vaja valida teine ja proovida uuesti.
Kui tahame, et õpilased julgeksid matemaatikas katsetada, peavad sama sõnumit kandma nii kool kui kodu. Kui kodus väärtustatakse pingutust – «Tubli, et proovisid teistmoodi» – ja mitte ainult kiirust või hinnet, kasvab lapsel julgus edasi pusida ka siis, kui kohe ei tule välja.
Pingutusmoment ja kaasa tegemine on õppimise eeldus
Samas ei saa mööda vaadata sellest, et see kõik vajab õpilase pingutust. Matemaatika on aine, kus üks aste toetub teisele. Kui mõni oluline mõte jääb vahele, on hiljem ilma selle teadmiseta palju keerulisem edasi liikuda. Seepärast on matemaatikas kaasa tegemine tõesti oluline: vaja on proovida, küsida, kontrollida, parandada, proovida uuesti. Matemaatikas ei sünni arusaamine ainult kuulamisest, arusaamine sünnib siis, kui õpilane teeb ise mõttetöö ära.
Vahel ütleb õpilane juba esimese minutiga: «Ma ei oska.”»
Kahjuks ei aita alati, kui öelda, et õpilane prooviks veel või loeks uuesti. Võib juhtuda, et õpilane kogus julgust, et seda öelda, kuid kui tal puudub oskus end edasi aidata, siis jääbki ülesanne lahendamata ning järgmine kord ei pruugi ta enam sedagi öelda.
Õpetajana tuleb siis aidata tal alustada ning anda kätte mehhanismid, kuidas ülesannet lahti mõtestada: «Mis on ülesandes antud?», «Mida küsitakse?», «Mis oleks esimene väike samm?»
Sageli pole probleem oskuses, vaid selles, et aju tahab ebamugavuse eest põgeneda. Kui õpilane teeb esimese sammu ära, tuleb järgmine juba kiiremini – vaja on lihtsalt natuke pingutada.
Tunnis ei oota ma õpetajana kunagi, et kõigil oleks õiged vastused. Ootan, et õpilane mõtleb tunnis kaasa, pingutab ja proovib. Kõige rõõmsamaks teevad mind just need õpilased, kes tulevad tundi ja üritavad anda oma parima. See on paratamatult iga õpilase jaoks erinev ning seda pean õpetajana märkama ja tunnustama.
See ongi kõik, mida ma õpetajana soovin: ole kohal, ürita kaasa teha, küsi, kui ei oska, ja liigume koos edasi. Isegi kui kõik läheb täiesti valesti mitmeid kordi järjest, on minu unistus, et iga laps, kes klassi tuleb, suudaks edasi rühkida ja mitte alla anda.
Üks väike muutus, mis muudab palju
Kui ma sooviksin, et lugeja võtaks siit kaasa ühe mõtte, siis see on, et matemaatikas ei ole küsimus ainult õiges vastuses, vaid julguses mõelda ja oma vigu tunnistada. Julgus mõelda sünnib keskkonnas, kus viga ei tee sinust halba matemaatikut, vaid näitab, et oled teel.
Aga juba homme saab iga õpetaja proovida üht lihtsat muutust: vale vastuse korral mitte kiirustada edasi «Kes teab õigesti?» juurde, vaid küsida: «Kuidas sa oma vastuseni jõudsid?» ning luua tunnis ruumi pingutusele. Matemaatika ei ole sirge tee, kuid igaüks väärib võimalust oma rada leida.